Die Info ist relativ weit verbreitet, da kannst du praktisch jeden Artikel dazu lesen (z.B. https://www.nationalgeographic.de/umwelt/2022/03/studie-das-sind-die-umweltfreundlichsten-lebensmittel). Das einzige Fleisch, das klimamäßig noch schlechter ist als Käse, ist Rindfleisch (und vermutlich auch Schafs- und Ziegenfleisch, aber das fällt hierzulande mengenmäßig nicht ins Gewicht). Eier sind zwar besser als Hühnerfleisch (45% weniger CO2-Äquivalent), aber der Unterschied ist mMn nicht groß genug, um die kategorische Ablehnung von Fleisch aber nicht Eiern zu rechtfertigen.

Tierwohl ist natürlich schwieriger, weil man das schwerer in Zahlen ausdrücken kann. Aber alleine schon die Tatsache, dass Kuhmilch praktisch immer das Schlachten von Kälbern (und idR irgendwann auch der Milchkühe) beinhaltet, macht das aus vegetarischer Sicht relativ sinnfrei, und ich bin persönlich nicht davon überzeugt, dass es Milchkühe so viel besser haben als Masttiere. Hühnereier sind aus Tierwohlperspektive definitiv nicht besser ist Hühnerfleisch, zumindest auf industrielle Haltung (inkl. Freilandhaltung, Bio usw.) bezogen - wenn du dir Hühner im Garten hältst, ist das nochmal was anderes.

Wenn das der fall wäre könnten Vegetarier das ganze ja gleich bleiben lassen und wieder Fleisch essen.

Kommt auf die Perspektive an. Aus meiner Perspektive definitiv ja, aber traditionell haben viele Vegetarier diese Einstellung, dass Tiere töten viel schlimmer ist als Tiere ihr ganzes Leben lang in schlechten Verhältnissen zu halten. Das Extrembeispiel ist da Jagdwild - denen geht es zu Lebzeiten deutlich besser als jedem Vieh im Stall, und der Tötungsvorgang ist meistens auch deutlich "humaner", da sie nicht erst im LKW in irgendeine Tiertötungsfabrik gefahren werden (manchmal trifft der Jäger natürlich nicht richtig, aber das passiert ja in der Fabrik teilweise auch).